1. مقدمه

در این فصل با پرهیز از تخصصی کردن آمار تنها به محاسبه میانگین و انحراف معیار و کاربردهای آنها می‌پردازیم تا با ساده سازی بتوانیم جهت آموزش برآورد قیمت ملک برای علاقمندانی که مباحث تخصصی آماری برایشان کاربردی ندارد، ساده سازی کنیم.

2. تعاریف

شاخص های عددی: اعدادی هستند که به منظور بیان کمی توزیع اندازه ها از آن استفاده می شود . این شاخص ها توصیف کننده مجموعه داده ها می باشند.

پارامتر مرکزی: به هر معیار عددی که معرف مرکز مجموعه داده ها باشد ، پارامتر مرکزی اطلاق می شود یعنی همان مقدار نماینده ای که مشاهدات در اطراف آن توزیع شده اند.

مهمترین پارامترهای مرکزی

1- میـانگین: شامـل میانـگین حسـابی، میانگین پیراسـته، میانگین هندسـی، میانگین هارمـونیـک.

2- مد (نما): مقداری که بیشترین تکرار در یک مجموعه داده آماری رُخ دهد، گفته می‌شود. مد نوعی سنجش گرایش به مرکز است.

3- چارکها: اگر جامعه آماری به چهار قسمت مساوی تقسیم شود، به هر یک از قسمت ها یک چارک گفته می شود.

3.میانگین

به نقطه تعادل یا مرکز ثقل توزیع، در داده هایی که بصورت منظم بر روی یک محور ردیف شده باشند، میانگین (Mean) اطلاق می‌شود.

1-3. میانگین حسابی ساده

این میانگین از تقسیم مجموع مشاهدات بر تعداد آنها بدست می‌آید.

x مقادیر نمونه و N تعداد و x ̅ میانگین

$\huge \bar{x}= \frac{\sum_{n=1}^{1}{x}_{i}}{n}\textbf{}$

$\frac{}{}$

نمایش فیلم:

https://www.aparat.com/video/video/embed/videohash/ZoGKT/vt/frame

3-2. مثال

میانگین قیمت هر مترمربع 5 آپارتمان در یوسف آباد را که در زیر ذکر شده محاسبه نمایید.

۱۲۶ متر، عمر بنا 1402 ، قیمت هر متر۱۶۳ میلیون تومان، طبقه ۳ از ۷

۱۴۸متر، عمر بنا 1402، قیمت هر متر155 میلیون تومان، طبقه 4 از 6

۱30متر، عمر بنا 1382، قیمت هر متر105 میلیون تومان، طبقه 1 از 6

۱25متر، عمر بنا 1392، قیمت هر متر112 میلیون تومان، طبقه 3 از 5

85متر، عمر بنا 1400، قیمت هر متر167 میلیون تومان، طبقه 2 از 5

3-3. پاسخ مثال

x مقادیر نمونه و N تعداد و میانگین :

$\large \bar{x}= \frac{\sum_{n=1}^{1}{x}_{i}}{n}\textbf{}^{} =\frac{126+148+130+125+85}{5}{} = 122.8$

میانگین قیمت 122میلیون 800 هزار تومان می‌باشد.

4.واریانس

در نظریه احتمالات و آمار، نوعی سنجش پراکندگی است.

که بر دو نوع است:

1- واریانس جامعه که آنرا با $\large \sigma ^2$ نمایش می‌دهیم.

2- واریانس نمونه که آنرا با $\large S^2$ نمایش می‌دهیم.

و ما تنها در اینجا به واریانس نمونه خواهیم پرداخت.

4-1.واریانس نمونه

فرمول محاسبه واریانس نمونه که $\large \bar{x}$ میانگین و N تعداد و $\large S^2$ واریانس نمونه است:

$\large S^2= \frac{\sum_{n=1}^{1}({x}_{i}-\bar{x})^2}{N-1}\textbf{}^{}$

5. انحراف معیار

انحراف معیار نشان می‌دهد به‌طور میانگین داده‌ها چه مقدار از مقدار متوسط فاصله دارند. اگر انحراف معیار مجموعه‌ای از داده‌ها نزدیک به صفر باشد، نشانه آن است که داده‌ها نزدیک به میانگین هستند و پراکندگی اندکی دارند؛ در حالی که انحراف معیار بزرگ بیانگر پراکندگی قابل توجه داده‌ها می‌باشد. انحراف معیار برابر ریشه دوم واریانس است. و آنرا با S نمایش می‌دهیم و فرمول محاسبه آن:

$\large s=\sqrt{s^2}$

5-1. مثال

در یک کارخانه تولید شکلات دستگاه بسته بندی بطور دقیق در هر بسته به یک اندازه شکلات میوه‌ای وارد نمی‌کند می‌خواهیم طبق استاندارد مقدار خطا را بر روی بسته بندی به اطلاع مشتریان برسانیم. چگونه اینکار را باید انجام دهیم.

5-2. پاسخ مثال

الف - ابتدا با نمونه گیری از بسته‌ها تعداد شکلات را در هر بسته شمارش می‌کنیم هر چقدر این نمونه گیری (جامعه آماری) بزرگتر باشد برآورد ما دقیق تر خواهد بود. در مثال ما 10 بسته را شمارش کردیم که نتایج به صورت زیر می‌باشد:

105 – 111 – 92 – 101 – 100 – 85 – 97 – 103 – 109 - 91

ب – در مرحله دوم میانگین تعداد شکلاتها را محاسبه می‌کنیم:

x مقادیر نمونه و N تعداد و میانگین :

$\large \bar{x}= \frac{\sum_{n=1}^{1}{x}_{i}}{n}\textbf{}^{}$

$\large = \frac{105+111+92+101+100+85+97+103+109+91}{10}\textbf{}^{}$

$\large =99.4$

پ – در مرحله سوم واریانس را محاسبه می‌کنیم:

داده‌ها: 105 – 111 – 92 – 101 – 100 – 85 – 97 – 103 – 109 – 91 و میانگین : x ̅=99.4 و واریانس:

$\large S^2= \frac{\sum_{n=1}^{1}({x}_{i}-\bar{x})^2}{N-1}\textbf{}^{}$

$\large \large \large =\frac{(105-99.4)^2+(111-99.4)^2+(92-99.4)^2+(101-99.4)^2+ (100-99.4)^2}{10-1}$

$\large \large +\frac{(85-99.4)^2+(97-99.4)^2+ (103-99.4)^2+(109-99.4)^2+(91-99.4)^2}{10-1}$

$\large = 68.04$

ت – در مرحله چهارم انحراف معیار را محاسبه می‌کنیم:

واریانس $\large S^2= 68.4$ و با گرفتن جذر از آن انحراف معیار را بدست می‌آوریم:

$\large S=\sqrt{S^2}= \sqrt{68.4} \simeq 8.24$

در نتیجه با تقریب بر روی هر بسته شکلات میوه‌ای درج می‌کنیم :

تعداد : 8 ± 100 عدد

یعنی در هر بسته ممکن است بطور میانگین 8 عدد شکلات بیشتر یا کمتر از 100 تا موجود باشد.

5-3. مثال

حدود قیمت هر مترمربع آپارتمان در جنت آباد تهران محاسبه نمایید.

5-4. پاسخ مثال

الف - ابتدا جدولی از قیمت‌های اعلامی، عمربنا و طبقه آپارتمانهای جنت آباد تهیه می‌کنیم.

جدول 10 آپارتمان جنت آباد تهیه شده از سایت‌های مختلف. لازم به ذکر هر چقدر تعداد نمونه‌های قیمت گیری بیشتر شود، برآورد ما دقیق تر خواهد بود.

ب – در مرحله دوم میانگین قیمت‌ها را محاسبه می‌کنیم:

130 – 119.6 – 101.8 – 103.3 – 123.4 – 123.3– 128.7 – 112.6– 111.2– 115.6

x مقادیر نمونه و N تعداد و میانگین :

$\bar{x}= \frac{\sum_{n=1}^{1}{x}_{i}}{n}\textbf{}$

$= \frac{130+119.6+101.8+103.3+123.4+123.3+128.7+112.6+111.2+115.6}{10}$

$\large = 116.95$

پ – در مرحله سوم واریانس را محاسبه می‌کنیم:

و میانگین : x ̅=116.95 و واریانس:

$\large S^2= \frac{\sum_{n=1}^{1}({x}_{i}-\bar{x})^2}{N-1}\textbf{}^{}$

$\large \large \large =\frac{(130-116.95)^2+(119.6-116.95)^2+(101.8-116.95)^2+(103.3-116.95)^2+ (123.4-116.95)^2}{10-1}$

$\large +\frac{(123.3-116.95)^2+(128.7-116.95)^2+ (112.6-116.95)^2+(111.2-116.95)^2+(115.6-116.95)^2}{10-1}$

$\large = 96.32$

ت – در مرحله چهارم انحراف معیار را محاسبه می‌کنیم:

واریانس $S^2=96.32$ و با گرفتن جذر از آن انحراف معیار را بدست می‌آوریم:

$S = \sqrt{S^2} = \sqrt{96.32} \simeq 9.81$

در نتیجه با تقریب قیمت هر مترمربع آپارتمان در جنت آباد: 9.81 ± 116.95 میلیون تومان

حال این سوال پیش می‌آید این میانگین قیمت مربوط به آپارتمانهایی با چه سال ساختی می‌شود؟

5-4. یافتن پاسخ مثال 5-3 بوسیله EXEL

قطعاً این سوال در ذهن مطرح می‌شود که با بررسی 10 آپارتمان نمی‌توان به برآورد قیمت درستی دست یافت و گسترش جامعه آماری محاسبات را سخت تر می‌نماید، جهت تسهیل در محاسبات می‌توانیم از ابزار اکسل ماکروسافت و با چند فرمول ساده به راحتی به جواب برسیم.

ابتدا اطلاعات را طبق جدول در در اکسل وارد می‌کنیم و طبق بخشی که در فیلم بالا آمده فرمول‌های

میانگین " AVERAGE" ،

واریانس نمونه " VAR.S" و

انحراف معیار نمونه " STDEV.S"

را به سلول‌های مد نظر داده و به راحتی به جواب دست پیدا می‌کنیم.

با مشاهده جدول فوق که برگرفته از اطلاعات وارده ما از اکسل هست:

میانگین‌های قیمت هر مترمربع 116.95 میلیون تومان، عمربنا 5.8 سال و طبقه 2.6

انحراف معیار نمونه‌های قیمت هر مترمربع 9.81 میلیون تومان، عمربنا 3.58 سال و طبقه 1.51

با توجه به نتایج حاصل می‌توان گفت بازه قیمت هر مترمربع آپارتمانهای بین 2.3 تا 8.3 ساله (3.58±5.8) در جنت آباد تهران 107.14 میلیون تومان تا 127.67 میلیون تومان (9.81±116.95) حدوداً در تیرماه 1402 می‌باشد.

لازم به ذکر است که این قیمت گذاری حدودی و به عنوان مثال مطرح شده و با توجه با جامعه آماری کم و گستردگی منطقه جنت آباد که 3 بازه قیمتی در قسمتهای جنوبی، مرکزی و شمالی دارد قابل استناد نمی‌باشد.

آموزش برآورد قیمت ملک ، فصل دوم - میانگین و انحراف معیار

3.میانگین